On the small-time bilinear control of a nonlinear heat equation: Global approximate controllability and exact controllability to trajectories

In this work we analyse the small-time reachability properties of a nonlinear parabolic equation, by means of a bilinear control, posed on a torus of arbitrary dimension d. Under a saturation hypothesis on the control operators, we show the small-time approximate controllability between states sharing the same sign. Moreover, in the one-dimensional case d=1, we combine this property with a local exact controllability result, and prove the small-time exact controllability of any positive states towards the ground state of the evolution operator. Dans ce travail, nous analysons les propriétés d'accessibilité en temps court d'une équation parabolique non linéaire, à l'aide d'un contrôle bilinéaire, posée sur un tore de dimension arbitraire d. Sous une hypothèse de saturation sur les opérateurs de contrôle, nous montrons la contrôlabilité approchée en temps court entre les états qui ont le même signe. De plus, dans le cas unidimensionnel d=1, nous combinons cette propriété avec un résultat de contrôlabilité locale exacte, et prouvons la contrôlabilité exacte en temps court de tout état positif vers l'état fondamental de l'opérateur d'évolution.